y=√(3x+6)/(3x-1)的主要性质有哪些？

1、※.函数的定义域

根据根式和分式定义要求有：

(3x+6)/(3x-1)≥0且3x-1≠0；

即：-∞＜x≤-2，1/3＜x≤+∞，

则函数的定义域为：(-∞，-2]，(1/3，+∞）。

2、※.函数的单调性

∵y=√(3x+6)/(3x-1),

∴y'=(1/2)*[(3x+6)/(3x-1)]-1/2*

[3(3x-1)-3(3x+6)]/(3x-1)2,即：

y'=(-1/2)*[(3x+6)/(3x-1)]-1/2*21/(3x-1)2,

y'=-21/2*[(3x+6)/(3x-1)3]-1/2<0，

则函数y在定义域上为减函数。

3、※.函数的凸凹性

∵y'=-21/2*[(3x+6)/(3x-1)3]-1/2，

∴y''=-21/4*[(3x+6)/(3x-1)3]-3/2*

[3(3x-1)3-9(3x+6)(3x-1)2]/(3x-1)6,

即y''=-21/4*[(3x+6)/(3x-1)3]-3/2*

[3(3x-1)-9(3x+6)]/(3x-1)4,

=21/4*[(3x+6)/(3x-1)3]-3/2*(18x+57)/(3x-1)4,

4、 

令y''=0，则18x+57=0，即x=-19/6.

则函数的凸凹性即凸凹区间如下：

(1).当x∈(-∞，-19/6]时，y''≤0，

此时函数y为凸函数；

(2).当x∈(-19/6,-2]，(1/3，+∞）时，

y''≥0，此时函数y为凹函数。

5、※.函数的极限

lim(x→1/3) √(3x+6)/(3x-1)=+∞；

lim(x→-2) √(3x+6)/(3x-1)=0；

lim(x→-∞) √(3x+6)/(3x-1)=1；

lim(x→+∞) √(3x+6)/(3x-1)=1.