用Mathematica演示级数逼近的现象——幂级数

1、 先来求正弦函数sinx在x=0时的幂级数展开式，且使得级数式取到x^20项（20阶）：Series[Sin[x], {x, 0, 20}]

3、 如果感觉有点乱，可以用Column进行排列：Table[Series[Sin[x], {x, 0, n}], {n, 1, 20}] // Column 这样观察起来就容易多了！

5、 把sinx的前20阶幂级数的图像画出来，并与sinx的图像加以比较：Plot[Evaluate[ Table[Normal[Series[Sin[x], {x, 0, n}]], {n, 1, 20, 1}]], {x, 0, 4 Pi}, PlotRange -> 3] 和Plot[Evaluate[ Table[Normal[Series[Sin[x], {x, 0, n}]], {n, 1, 20, 1}]], {x, 0, 4 Pi}, PlotRange -> 100] 和Plot[{Sin[x], Evaluate[Table[ Normal[Series[Sin[x，{x, 0, n}]], {n, 1, 20, 1}]]}, {x，0, 4 Pi}, PlotRange -> 3] 注意，当PlotRange取到100的时候，sinx的波动几乎就是看不着了！

7、 感觉逼近的程度不够？那就要继续增加幂级数的阶数，100阶：Manipulate[Plot[{Sin[X], Evaluate[NorMal[Series[Sin[x], {x, 0, n}]]]}, {x, 0, 10 Pi}, PlotRange -> 2], {n, 1, 100, 1}]

9、 如果换一个不能处处收敛的呢？比如tanx：Manipulate[Plot[{Tan[x], Evalu锾攒揉敫ate[Normal[Series[Tan[X], {x，0, n}]]]}, {x, 0, 3 Pi}, PlotRange -> 10], {n, 1, 60, 1}] 发现，只有在收敛区间内，幂级数才能逼近函数！