四元数群的正规子群、中心、中心化子

本文，续前缘，通过四元数群的矩阵表示，来查看四元数群的正规子群、中心、中心化子。

工具/原料

电脑

Mathematica11.2

正规子群

1、四元数群的二阶子群是正规子群。通过下面的代码可以证明。

3、这样就可以断言，四元数群的所有子群都是正规子群。

中心

1、群的中心，指的是可与所有群元素交换的元素的集合。四元数群的四阶子群，都不是群的中心。

3、这样就可以断言，四元数群的中心，必定是那唯一的二阶子群。

中心化子

1、给定G的元素g，能够和g交换的G的元素的集合，称为g关于G的中心化子。G的单位元的中心化子是G。

3、{{0, 1}, {-1, 0}}的中心化子是另一个四阶子群：{{{-1, 0}, {0, -1}}, {{0, -1}, {1, 0}}, {{0, 1}, {-1, 0}}, {{1, 0}, {0, 1}}}

5、{{{1, 0}, {0, 1}}, {{-1, 0}, {0, -1}}}是四元数群唯一的二阶子群，以它为中心化子的集合是：{{{0, -1}, {1, 0}}荑樊综鲶, {{0, -I}, {-I, 0}}, {{0, I}, {I, 0}}, {{0, 1}, {-1, 0}}, {{-I, 0}, {0, I}}, {{I, 0}, {0, -I}}}？？？这个集合里面为什么没有单位元？