三种思路求解x^3/√(1-x^2)dx的不定积分

1、解法一：

 思路：根据分子分母的关系，直接变形化简求得：

I=-∫[x(1-x^2)-x]dx/√(1-x^2)

=-∫x(1-x^2)dx/√(1-x^2)+ ∫xdx/√(1-x^2)

=-∫x√(1-x^2)dx-(1/2) ∫d(1-x^2)/√(1-x^2)

=(1/2) ∫√(1-x^2)d(1-x^2)-√(1-x^2)

=(1/3)√(1-x^2)^3-√(1-x^2)+c

1、解法二：

思路：利用不定积分的分部积分方法求得：

     I=∫x^2*xdx/√(1-x^2)

   =-(1/2)∫x^2d(1-x^2)/√(1-x^2)

   =-∫x^2d√(1-x^2)

   =-x^2√(1-x^2)+ ∫√(1-x^2)dx^2

   =-x^2√(1-x^2)-∫√(1-x^2)d(1-x^2)

   =-x^2√(1-x^2)-(2/3)√(1-x^2)^3+c

1、解法三：

思路：利用三角函数的代换关系求得。

设x=sint，则cost=√(1-x^2),此时：

I=∫sin^3td(sint)/√(1-sin^2t)

 =∫sin^3t*cost dt/cost

 =∫sin^3 t dt

 =∫sint(1-cos^2 t)dt

 =∫sintdt-∫sintcos^2 tdt

 =-cost+∫cos^2tdcost

 =-cost+(1/3)cos^3 t+c

 =-√(1-x^2)+ (1/3)√(1-x^2)^3+c.